La curva de Koch, también conocida como copo de nieve es un fractal que puede obtenerse mediante diferentes procedimientos como los denominados IFS o sistemas de funciones iteradas (deterministas o no), sistemas basados en reglas, etc.
El algoritmo recursivo goza de la virtud de representar además un concepto muy asociado a los fractales: el infinito. La esencia de la recursividad permite describir de una forma muy simple la de la propia curva. Un universo que contiene a otro y este a su vez copia el patrón en una secuencia que se repite infinitamente.
Pertenece al grupo de los fractales autosimilares[1], siendo el método de obtención del tipo determinista.
M.C. Escher's “Gravity”
Generación de la Curva de KochPara la determinación de un fractal determinista se necesita un elemento de partida denominado iniciador, y un patrón de modificación del iniciador llamado generador.
El iniciador se subdivide en partes que son sustituidas por el generador en un proceso repetitivo e infinito.
La curva de Koch toma como iniciador un segmento de línea recta.
El generador divide en tres partes iguales el segmento, elimina el tramo central y añade otros dos, en su lugar, de iguales dimensiones. Los ángulos se corresponden con los de un triángulo equilátero.
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iniciador | Generador i=1 |
El proceso se repite recursivamente, aplicando el generador a cada uno de los segmentos resultantes.
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i = 2 | i = 3 |
Dimensión Fractal
La dimensión de un objeto es un concepto topológico que sitúa o clasifica a los objetos en espacios métricos. La noción intuitiva de espacios con dimensiones enteras choca con las denominadas dimensiones fractales, que toman valores reales.
La curva de Peano es una curva capaz de llenar el plano. ¿Tiene por lo tanto dos dimensiones?, cabe preguntarse.
Se asocia la dimensión de un fractal con la aspereza, o fragmentación, del mismo, de manera que una dimensión mayor presentará un aspecto más rugoso o dentado. En cualquier caso da información caracterizándolo acerca de su complejidad.
Existen diferentes procedimientos de cálculo [1] de las dimensiones fractales, como la dimensión de Hausdorff, Similaridad interna, Bouligand, Kolmogoroff…
Se puede establecer basandose en iteraciones o en analogías de las divisiones del Espacio Euclídeo[2]:
El factor de escala s=1/2 permite relacionar al valor n de forma que:
n.sD=1
siendo el valor de la variable D el de la dimensión del objeto.De forma similar al dividir un cuadrado con n=4 partes iguales, se cumple la relación con s=1/2 ,siendo en este caso D=2 la dimensión del objeto.
La curva de Koch tiene una relación s=1/3, con n = 4, por lo que su dimensión fractal es:
D=ln4/ln3 ~ 1.269
Autosemejanza
La repetición de los patrones topológicos de estos fractales a diferentes escalas llevan a denominarlos autosemejantes.
Contienen partes que son versiones reducidas en tamaño del objeto entero.
En el caso de poder aplicar variaciones aleatorias a las subpartes de escala reducida, se dice que el fractal es estadísticamente autosemejante.
La curva de Koch se puede generar, en cada iteración, repitiendo cuatro veces el patrón generador expuesto.
En la figura se ha remarcado uno de los elementos repetidos para la determinación de la segunda iteración. Trasladando y copiando el generador a la escala adecuada se pueden ir generando los diferentes pasos o iteraciones en su proceso generador.
En el caso de poder aplicar variaciones aleatorias a las subpartes de escala reducida, se dice que el fractal es estadísticamente autosemejante.
La curva de Koch se puede generar, en cada iteración, repitiendo cuatro veces el patrón generador expuesto.
En la figura se ha remarcado uno de los elementos repetidos para la determinación de la segunda iteración. Trasladando y copiando el generador a la escala adecuada se pueden ir generando los diferentes pasos o iteraciones en su proceso generador.
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Función_Pinta_Koch_Recursivo(Linea2D,NumIteraciones) |
Para calcular los nuevos segmentos que se generan a partir de uno cualquiera AB, se determinan las coordenadas de los mismos de la siguiente manera.
- Los puntos C y D se obtienen mediante semejanza, siendo las correspondientes coordenadas :
Ci = Ai + (Bi-Ai)/3; y
Di = Bi - (Bi-Ai)/3;
El punto E se encuentra en el eje de simetría de la figura, a una distancia H del segmento AB y sobre una perpendicular por su punto medio.
También se puede encontrar girando 60º el punto D con centro en C.
También se puede encontrar girando 60º el punto D con centro en C.
Fractales en el arte
Diversos trabajos de naturaleza artística han utilizado de manera consciente o no, estructuras de diseño geométrico cuya esencia se obtiene en los fractales.
Las líneas más conocidas se encuentran en representaciones generadas informáticamente que buscan formas coloristas, con profundidad tridimensional, a partir de diferentes algoritmos.
Otros artistas han trabajado sin embargo con medios tradicionales, buscando una representación del pensamiento a través de la unión del grafismo artístico y los estúdios de geometría.
Cabe destacar el trabajo de M. C. Escher en su serie “Gravity”, “Double Planet” etc., donde se pueden encontrar los fractales de Kepler [4] y [5].
Estos toman otras formas como iniciadoras (estrella de cinco puntas)
o en tres dimensiones
[1] FRACTALS Non-Integral Dimensions and Applications. John Wiley & Sons. University of Paris VII
[2] Gráficos por computadora con OpenGl. Donald Eran. Pearson Prentice Hall
[3]"Computers and Graphics" Vol. 19, No. 6, pp. 885-888, 1995
[4] Keplerian Fractals: http://www.mhri.edu.au/~pdb/fractals/keplerian/
[5] Back to Hop's Gallery: http://clowder.net/hop/index.html
[1] Una de las clasificaciones existentes los divide en Autosimilares (Losautosimilares estadísticamente permiten definir o modelar árboles, arbustos y otras plantas), Autoafines (Los autoafines estadísticamente que permiten definir terrenos, agua, nubes etc.) y Conjuntos Invariantes de fractales ( que incluyen a los autocuadráticos como el conjunto de Mandelbrot)
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